不妨顺其自然

　　多年前的一节数学课，讲的是轴对称问题． 
　　我先让学生研究一般方法．怎样求点P(x。, y。)关于直线Ax＋By＋C＝0(AB≠0)的对称点Q(x1, y1)?．同学们主要提出了两种建立方程组的方案：
 ①    ②
　　经比较，一致认为方案②较好．
　　接着，我让学生进行具体练习．分别求出点（1，2）关于下列直线的对称点：
　　⑴ y＝－x;  ⑵ y＝x＋3;  ⑶ x＋y＝1;  ⑷ 3x－3y＋2＝0. 
　　多半同学都得出了正确结果：⑴(－2, －1);  ⑵(－1, 4);  ⑶(－1, 0);  ⑷(4/3, 5/3). 
　　我还准备了两道有关轴对称的综合例题，例１已抄到黑板上并开始分析了．就在这时，“半路上杀出一个程咬金”，学生甲突然打断了我的讲课：“老师，我发现了一个非常简单的办法!”我心想，莫非是我将要讲的解法２，让他说吧．
　　生甲：“前头做的四个求对称点的题，都可以这样做：⑴∵x＝－y, y＝－x，∴把点（1，2）的坐标代入这两式的右边，就分别得到了所求对称点的横、纵坐标；⑵∵x＝y－3, y＝x＋3，∴把点（1，2）的坐标代入这两式的右边，就同样得到了对称点的横、纵坐标；我试了⑶和⑷，这样做都是对的．因此，我觉得求一个点关于一条直线的对称点的简便办法是，先从对称轴方程中分别解出x和y的表达式，把给定点的坐标代入这两个式子的右边，就得到了它的对称点的横、纵坐标．”
　　这是我始料不及的，我也从来没想到过有这种奇巧的方法．学生的发现令人振奋但我又不敢轻易下结论．现在的问题是，学生甲讲得确有道理，但需进一步证实．这需要时间，顺此下去，显然无法完成预定的教学任务．怎么办呢？权衡利弊，我决定放弃原定计划，和同学们一道来探讨甲同学所提方法的正误．
　　师：“这真是一个有趣而有用的发现！我们把点（1，2）再换成（－3，1），分四组来验证一下甲同学的结论，每组做一道题．”
　　都肯定了甲同学的结论．
　　生乙：“刚才是换了点的坐标，再换一下对称轴的方程进行检验．” 师：“很好，不妨请大家试求点（1，2）关于直线x＋2y＋3＝0的对称点．”
　　不一会功夫，大家又得出了否定的结论．
　　师：“难道甲同学的方法无用武之地吗？我想大家都不愿意善罢甘休的．我们再看看，甲同学的方法是不是适合某一类情形．”
　　我心中无数，和同学们一道进入了重新审视的过程．我发现，练习题中的四个对称轴的斜率是±1，于是提醒学生注意各个对称轴的方程有无共性．
　　生丙：“这四个方程都能写成x±y＋C＝0的形式，而x＋2y＋3＝0不具备这种形式．”
　　师：“很好！现在我们用甲同学的方法来分别写出点(x。, y。)关于直线x＋y＋C＝0和x－y＋C＝0的对称点的坐标．”
　　答案：（（－y。－C, －x。－C）和(（y。－C, x。＋ C）)
　　师：“好了，下面我们分两组分别用本节课开头提出的方法来证明上述结论．”…… 
　　师：“今天，甲同学发现一个巧妙的解题方法，经过大家共同研究，特别是丙同学提出了限制条件，使这个方法得以完善．为表彰这两位同学的突出贡献，我们不妨称其为‘二张方法’（两人均姓张），大家同意吗？（鼓掌）．
　　好了，我们再来回顾一下‘二张方法’的具体内容……．要特别注意，当对称轴的斜率不是 ±1 时，‘二张方法’是不能用的．”

2004年4月

　　* 本文是对早年一堂课的回顾，文中的“二张方法”被写进笔者后来发表在《数学教学研究》并被人大报复印刊资料中心转载的《掌握对称规律，运用对称思想》一文
　　* 本文于2008.9获人民教育出版社、中学数学参考编辑部组织的全国新课程教学课例大赛二等奖，专家评审结论是：《不妨顺其自然》，观点先进新颖，正如数学教育专家、著名特级教师马明先生所说：我在课堂上经常放弃原来的教学设计而沿着学生的思路进行探究，只要在思维发展、能力提高上取得效果，就是一节好课。这确是教学民主、尊重学生、以人为本的理念的体现，应该大力倡导。当然“放弃”不等于“放任”，教师的指导、点拨、调控还是必须的。此节课，源于一位学生的“敢闯”与“善闯”，教师因势利导，展开了一场卓有成效、跌宕起伏的讨论，对于学生的探究精神的树立与培养很具价值。